Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上有一點(diǎn)P，∠F₁PF₂=，且△PF₁F₂的面積為3，求橢圓的方程．

Answer 1

解：設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-c，0）、F₂（c，0）．
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以|PF₁|+|PF₂|=2a．…（2分）
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²-3|PF₁|•|PF₂|．…（6分）
又因S_△PF1F2=3，所以|PF₁|•|PF₂|sin=3，得|PF₁|•|PF₂|=12．
所以4c²=4a²-36，又e==，
故a²=25，c²=16，b²=9，
∴所求橢圓的方程為+=1．…（12分）
分析：根據(jù)點(diǎn)P是橢圓的左支上的一點(diǎn)，及雙曲線的定義可知|PF₂|+|PF₁|=2a，由，∠F₁PF₂=，且△PF₁F₂的面積為3，可以求得|PF₂|•|PF₁|的值，根據(jù)余弦定理可以求得a，c的一個(gè)方程，雙曲線的離心率為2，根據(jù)雙曲線的離心率的定義式，可以求得a，c的一個(gè)方程，解方程組即可求得該橢圓的方程．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查橢圓的定義和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，及利用余弦定理解圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形，解題過程注意整體代換的方法，簡化計(jì)算．