Question

△ABC中，三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若B=60°，a=（-1）c．
（1）求角A的大��；
（2）已知當x∈[，]時，函數f（x）=cos2x+asinx的最大值為3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）用題目中所給的條件建立方程，通過消元得到關于角A的等式，利用它求角A的砰然函數值來，進而求出角．
（2）題目中知道了最大值為3，利用f_max=3建立相關的方程，此處要用二次函數在某一個確定區(qū)間上的最值問題的相關知識來最值為3的條件轉化為參數a的方程來求值，進而再由面積公式求出三角形的面積，
解答：解：（1）因為B=60°，所以A+C=120°，C=120°-A
∵a=（-1）c，由正弦定理可得：sinA=（-1）sinC
sinA=（-1）sin（120°-A）=（-1）（sin120°cosA-cos120°sinA）
=（-1）（cosA+sinA）
整理得，tanA=1
∴A=45°．
（2）f（x）=1-2sin²x+asinx，令t=sinx，
∵x∈[，]，
∴t∈[，1]
f（x）=g（t）=-2t²+at+1=-2（t-）²++1，t∈[，1]
若＜，即a＜2
f_max=g（）=a+=3，，故a=5（舍去）
若≤≤1即2≤a≤4，
f_max=g（）=+1=3，得a=3
若＞1，即a＞4，
f_max=g（）=1-2+a=a-1=3，得a=4（舍去）
故a=4，S_△ABC=6+2．
點評：本題考查了正弦定理，角的變換，三角轉化為函數，利用函數的相關知識得到關于最值3的方程，求參數求最值，方法靈活，技巧性很強，是一道能訓練答題都靈活答題能力的好題