Question

已知平面直角坐標(biāo)系下的一列點(diǎn)P_n（a_n，b_n）滿足an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，且P1(

1

4

，

3

4

)(n∈N*)．
（Ⅰ） 求點(diǎn)P₂坐標(biāo)，并寫出過點(diǎn)P₁，P₂的直線L的方程；
（Ⅱ） 猜想點(diǎn)P_n（n≥2）與直線L的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅲ） 若c₁=1，c_n+1=b_nc_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求

lim

n→∞

Sn的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由P1(

1

4

，

3

4

)，知a1=

1

4

，b1=

3

4

，b2=

3 4

1-( 1 4 )2

=

4

5

，a2=a1b2=

1

4

×

4

5

=

1

5

，由此能求出過點(diǎn)P₁，P₂直線L的方程．
（Ⅱ）由P₂坐標(biāo)為（

1

5

，

4

5

）得a3=

1

6

，b3=

5

6

，所以點(diǎn)P₃∈L，猜想點(diǎn)P_n（n≥3，n∈N）在直線L上，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（Ⅲ）由an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，a_k+b_k=1，知a_n≠0，a_n≠±1，所以

1

an+1

=

1

an

+1，{

1

an

}是等差數(shù)列，由此入手能夠?qū)С?span id="c8wd7er" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

lim

n→∞

Sn的值．

解答：解：（Ⅰ）∵P1(

1

4

，

3

4

)，
∴a1=

1

4

，b1=

3

4

，
∴b2=

3 4

1-( 1 4 )2

=

4

5

，a2=a1b2=

1

4

×

4

5

=

1

5

，
∴P₂坐標(biāo)為（

1

5

，

4

5

），（2分）
∴過點(diǎn)P₁，P₂直線L的方程為x+y=1，（4分）
（Ⅱ）由P₂坐標(biāo)為（

1

5

，

4

5

）得a3=

1

6

，b3=

5

6

，
∴點(diǎn)P₃∈L，
猜想點(diǎn)P_n（n≥3，n∈N）在直線L上，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=3時(shí)，點(diǎn)P₃∈L，（5分）
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，命題成立，即點(diǎn)P_k∈L，
∴a_k+b_k=1，（6分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1
=(1+ak)•

bk

1- a 2 k

=

bk

1-ak

=1，（7分）
∴點(diǎn)P_n∈L（n≥3），（8分）
（Ⅲ）由an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，a_k+b_k=1，
∴a_n≠0，a_n≠±1，
∴an+1=an

bn

1- a 2 n

=an

1-an

1- a 2 n

=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∴{

1

an

}是等差數(shù)列，
∴

1

an

=

1

a1

+n-1=n+3，（9分）
∴an=

1

n+3

，bn=

n+2

n+3

，
∵c_n+1=b_nc_n，
∴cn=

c2

c1

×

c3

c2

×…×

cn

cn-1

×c1，
=

3

4

×

4

5

×

5

6

×

n+1

n+2

×1=

3

n+2

，（10分）
∴cnan+1=

3

(n+2)(n+4)

=

3

2

(

1

n+2

-

1

n+4

)（11分）
∴S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1
=

3

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

n+1

-

1

n+3

)+(

1

n+2

-

1

n+4

)]+（

1

n+2

-

1

n+4

）]
=

3

2

[(

1

3

+

1

4

-

1

n+3

-

1

n+4

)]，
∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

3

2

[(

7

12

-

1

n+3

-

1

n+4

)]
=

3

2

[(

7

12

-

lim

n→∞

1

n+3

-

lim

n→∞

1

n+4

)]=

7

8

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列和解析幾何的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．