已知A、B、C是直線l上的三點，向量
OA
、
OB
、
OC
滿足
OA
-（y+1-lnx）
OB
+
1-x
ax
OC
=
o
，（O不在直線l上a＞0）
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，∞]上為增函數(shù)，求a的范圍；
（3）當a=1時，求證lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
，對n≥2的正整數(shù)n成立．
分析：（1）將條件變形，利用A，B，C三點共線，可得（y+1-lnx）-
1-x
ax
=1，從而可得結(jié)論；
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，等價于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，即可求a的范圍；
（3）先證明lnx≥1-
1
x
，再將x用
n
n-1
替代，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：∵
OA
-（y+1-lnx）
OB
+
1-x
ax
OC
=
0
，
∴
OA
=（y+1-lnx）
OB
-
1-x
ax
OC
，
∵A，B，C三點共線
∴（y+1-lnx）-
1-x
ax
=1
∴y=lnx+
1-x
ax
；
（2）解：f（x）=lnx+
1-x
ax
，∴f′（x）=
1
x
-
1
ax2

∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴
1
x
-
1
ax2
≥0在[1，+∞）上恒成立
∴a≥
1
x

∵
1
x
≤1，∴a≥1；
（3）證明：當a=1時，f（x）=lnx+
1
x
-1
由（2）知，x∈[1，+∞）時，f（x）≥f（1）=0
∴l(xiāng)nx≥1-
1
x
（當且僅當x=1時取“=”）
將x用
n
n-1
替代得ln
n
n-1
＞1-
n-1
n
=
1
n

∴l(xiāng)n
2
1
+ln
3
2
+…+ln
n
n-1
＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n

∴l(xiāng)nn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
點評：本題考查向量知識的運用，考查三點共線，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的不同三點，O是l外一點，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足
OA
=(
3
2
x2+1)
OB
-(lnx-y)
OC
，記y=f（x）；
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

6、已知a、b、c是直線，α是平面，給出下列命題：
①若a∥b，b⊥c，則a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；
③若a∥α，b?α，則a∥b；④若a⊥α，b?α，則a⊥b；
⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a、b都垂直．
其中真命題是
①④
．（把符合條件的序號都填上）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足：
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
．記y=f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若對任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a、b、c是直線，β是平面，給出下列命題：
①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；
②若a∥b，b⊥c，則a⊥c；
③若a∥β，a?α，α∩β=b則a‖b；
④若a與b異面，且a∥β，則b與β相交；
其中真命題的序號是
②③
②③
．（要求寫出所有真命題的序號）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的不同的三點，O是外一點，則向量
OA
、
OB
、
OC
滿足：
OA
=λ
OB
+μ
OC
，其中λ+μ=1．
（1）若A、B、C三點共線且有
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0
成立．記y=f（x），求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若對任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案