Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到定直線x=2的距離之比是，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C₁，Q是動(dòng)圓（1＜r＜2）上一點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₁的方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；
（2）設(shè)曲線C₁上的三點(diǎn)與點(diǎn)F的距離成等差數(shù)列，若線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為T，求直線BT的斜率k；
（3）若直線PQ與C₁和動(dòng)圓C₂均只有一個(gè)公共點(diǎn)，求P、Q兩點(diǎn)的距離|PQ|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，得，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₁的方程和軌跡是什么圖形．
（2）由已知可得，，，因?yàn)?|BF|=|AF|+|CF|，所以x₁+x₂=2，故線段AC的中點(diǎn)為，其垂直平分線方程為，由此能求出直線BT的斜率．
（3）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），直線PQ的方程為y=kx+m，因?yàn)镻既在橢圓C₁上又在直線PQ上，由此能求出P、Q兩點(diǎn)的距離|PQ|的最大值．
解答：解：（1）由已知，得，…（2分）．
將兩邊平方，并化簡(jiǎn)得，…（4分）．
故軌跡C₁的方程是，
它是長(zhǎng)軸、短軸分別為、2的橢圓…（4分）．
（2）由已知可得，，，
因?yàn)?|BF|=|AF|+|CF|，所以=，
即得x₁+x₂=2，①…（5分）．
故線段AC的中點(diǎn)為，
其垂直平分線方程為，②…（6分）．
因?yàn)锳，C在橢圓上，故有，，
兩式相減，得：③
將①代入③，化簡(jiǎn)得，④…（7分）．
將④代入②，并令y=0得，，
即T的坐標(biāo)為．…（8分）．
所以．…（9分）．
（3）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
直線PQ的方程為y=kx+m，
因?yàn)镻既在橢圓C₁上又在直線PQ上，
從而有
∴（2k²+1）x²+4kmx+2（m²-1）=0…（10分）．
由于直線PQ與橢圓C₁相切，故△=（4km）²-4×2（m²-1）（2k²+1）=0
從而可得m²=1+2k²，，
同理，由Q既在圓C₂上又在直線PQ上，可得m²=r²（1+k²），…（12分）
∴，
所以
=
=…（13分）．
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故P、Q兩點(diǎn)的距離|PQ|的最大值．…（14分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．