【題目】已知頂點在原點,焦點在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為 .
(1)求拋物線的方程;
(2)若拋物線與直線y=2x﹣5無公共點,試在拋物線上求一點,使這點到直線y=2x﹣5的距離最短.
【答案】
(1)解:設拋物線的方程為y2=2px,則 ,
消去y得
= ,
則 ,p2﹣4p﹣12=0,
∴p=﹣2,或p=6,
∴y2=﹣4x,或y2=12x
(2)解:解法一、顯然拋物線y2=﹣4x與直線y=2x﹣5無公共點,
設點 為拋物線y2=﹣4x上的任意一點,
點P到直線y=2x﹣5的距離為d,
則
當t=﹣1時,d取得最小值,
此時 為所求的點
解法二、顯然拋物線y2=﹣4x與直線y=2x﹣5無公共點,
設與直線y=2x﹣5平行且與拋物線y2=﹣4x相切的直線方程為y=2x+b,
切點為P,則點P即為所求點.
由 ,
消去y并化簡得:4x2+4(b+1)x+b2=0,
∵直線與拋物線相切,
∴△=16(b+1)2﹣16b2=0,
解得:
把 代入方程4x2+4(b+1)x+b2=0并解得: ,∴y=﹣1
故所求點為
【解析】(1)設拋物線的方程為y2=2px,由 ,得 ,由拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為 能求出拋物線方程.(2)法一、拋物線y2=﹣4x與直線y=2x﹣5無公共點,設點 為拋物線y2=﹣4x上的任意一點,點P到直線y=2x﹣5的距離為d,則 ,故當t=﹣1時,d取得最小值. 法二、拋物線y2=﹣4x與直線y=2x﹣5無公共點,設與直線y=2x﹣5平行且與拋物線y2=﹣4x相切的直線方程為y=2x+b,
切點為P,則點P即為所求點,由此能求出結果.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)[f(x)+f(y)]>0.
(1)判斷f(x)的單調性,并加以證明;
(2)解不等式 ;
(3)若f(x)≤m2﹣2am+1對所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】在中,,,分別是角A,B,C的對邊,且.
(1)求角的值;
(2)已知函數(shù),將的圖像向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像,求的單調增區(qū)間.
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【題目】已知直線在直角坐標系中的參數(shù)方程為為參數(shù), 為傾斜角),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,在極坐標系中,曲線的方程為.
(1)寫出曲線的直角坐標方程;
(2)點,若直線與曲線交于兩點,求使為定值的值.
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【題目】已知點A(6,2),B(3,2),動點M滿足|MA|=2|MB|.
(1)求點M的軌跡方程;
(2)設M的軌跡與y軸的交點為P,過P作斜率為k的直線l與M的軌跡交于另一點Q,若C(1,2k+2),求△CPQ面積的最大值,并求出此時直線l的方程.
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【題目】如圖,在三棱錐中, 底面, , , , 分別是, 的中點, 在上,且.
(1)求證: 平面;
(2)在線段上上是否存在點,使二面角
的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】若直線 l1和l2 是異面直線,l1在平面 α內,l2在平面β內,l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是( )
A.l與l1 , l2都不相交
B.l與l1 , l2都相交
C.l至多與l1 , l2中的一條相交
D.l至少與l1 , l2中的一條相交
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【題目】已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點,與的公共弦的長為.
(1)求的方程;
(2)過點的直線與相交于,兩點,與相交于,兩點,且與同向
(ⅰ)若,求直線的斜率
(ⅱ)設在點處的切線與軸的交點為,證明:直線繞點旋轉時,總是鈍角三角形
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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率.以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8,面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點為橢圓上一點,直線的方程為,求證:直線與橢圓有且只有一個交點.
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