【題目】已知向量,,,,函數(shù),的最小正周期為

(1)求的單調(diào)增區(qū)間;

(2)方程;在上有且只有一個解,求實(shí)數(shù)n的取值范圍;

(3)是否存在實(shí)數(shù)m滿足對任意x1∈[-1,1],都存在x2R,使得++m-)+1>fx2)成立.若存在,求m的取值范圍;若不存在,說明理由.

【答案】(1)(2)(3)存在,且m取值范圍為

【解析】

(1)函數(shù)的最小正周期為.可得,即可求解的單調(diào)增區(qū)間

(2)根據(jù)x上求解的值域,即可求解實(shí)數(shù)n的取值范圍;

(3)由題意,求解的最小值,利用換元法求解的最小值,即可求解m的范圍

(1)函數(shù)fx1=2sin2(ωxcos(2ωx)﹣1

=sin(2ωxcos(2ωx

=2sin(2ωx

fx)的最小正周期為π.ω>0

,

∴ω=1.

那么fx)的解析式fx)=2sin(2x

2x,kZ

得:x

fx)的單調(diào)增區(qū)間為[,],kZ

(2)方程fx)﹣2n+1=0;在[0,]上有且只有一個解,

轉(zhuǎn)化為函數(shù)yfx)+1與函數(shù)y=2n只有一個交點(diǎn).

x在[0,]上,

(2x

那么函數(shù)yfx)+1=2sin(2x)+1的值域?yàn)閇,2],結(jié)合圖象可知

函數(shù)yfx)+1與函數(shù)y=2n只有一個交點(diǎn).

那么2n<1或2n=2,

可得n=1.

(3)由(1)可知fx)=2sin(2x

fx2min=﹣2.

實(shí)數(shù)m滿足對任意x1∈[﹣1,1],都存在x2R,

使得m)+1>fx2)成立.

m)+1>﹣2成立

ym)+1

設(shè)t,那么2+2=t2+2

x1∈[﹣1,1],

t[,],

可得t2+mt+5>0在t[,]上成立.

gt)=t2+mt+5>0,

其對稱軸t

t[]上,

∴①當(dāng)時,即m≥3時,gtming,解得;

②當(dāng),即﹣3<m<3時,gtming0,解得﹣3<m<3;

③當(dāng),即m≤﹣3時,gtming0,解得m≤﹣3;

綜上可得,存在m,可知m的取值范圍是(,).

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