Question

若關(guān)于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，則實常數(shù)λ的取值范圍是______．

Answer 1

當(dāng)n∈N^*時，(

1

2

)n的最大值為

1

2

則關(guān)于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，
即x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，
∵f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

的圖象是開口朝上，且以x=-

1

4

為對稱軸的拋物線
則當(dāng)λ≤-

1

4

時，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，λ]上單調(diào)遞減，
若f（x）≥0，即f（λ）≥0，解得λ≤-1
當(dāng)λ＞-

1

4

時，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，-

1

4

]上單調(diào)遞減，[-

1

4

，λ]單調(diào)遞增
若f（x）≥0，即f（-

1

4

）≥0，此時不滿足條件
綜上λ≤-1
即常數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-1]