【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點分別為F1,F2,離心率為,過F1的直線l與橢圓C交于M,N兩點,且△MNF2的周長為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx+b與橢圓C分別交于A,B兩點,且OA⊥OB,試問點O到直線AB的距離是否為定值,證明你的結論.
【答案】(1); (2)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)三角形周長為8,結合橢圓的定義可知,,利用,即可求得和的值,求得橢圓方程;(2)分類討論,當直線斜率斜存在時,聯(lián)立,得到關于的一元二次方程,利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算,求得和的關系,利用點到直線的距離公式即可求得點到直線的距離是否為定值.
(1)由題意知,4a=8,則a=2,
由橢圓離心率,則b2=3.
∴橢圓C的方程;
(2)由題意,當直線AB的斜率不存在,此時可設A(x0,x0),B(x0,-x0).
又A,B兩點在橢圓C上,
∴,
∴點O到直線AB的距離,
當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=kx+b.設A(x1,y1),B(x2,y2)
聯(lián)立方程,消去y得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0.
由已知△>0,x1+x2=,x1x2=,
由OA⊥OB,則x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,
整理得:(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,
∴ .
∴7b2=12(k2+1),滿足△>0.
∴點O到直線AB的距離為定值.
綜上可知:點O到直線AB的距離d=為定值.
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【題目】在平面直角坐標系中,不等式組 (r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π,若x,y滿足上述約束條件,則z= 的最小值為( )
A.﹣1
B.﹣
C.
D.﹣
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【題目】設A,B分別為雙曲線 (a>0,b>0)的左、右頂點,雙曲線的實軸長為4,焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使,求t的值及點D的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,設橢圓 =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 右頂點為A,上頂點為B,離心率為e.橢圓上一點C滿足:C在x軸上方,且CF1⊥x軸.
(1)若OC∥AB,求e的值;
(2)連結CF2并延長交橢圓于另一點D若 ≤e≤ ,求 的取值范圍.
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【題目】已知 , ,則下列結論中正確的是( )
A.函數(shù)y=f(x)?g(x)的周期為2
B.函數(shù)y=f(x)?g(x)的最大值為1
C.將f(x)的圖象向左平移 個單位后得到g(x)的圖象
D.將f(x)的圖象向右平移 個單位后得到g(x)的圖象
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【題目】如圖,在四棱柱中,底面ABCD和側面都是矩形,E是CD的中點,,
.
(1)求證:;
(2)若平面與平面所成的銳二面角的大小為,求線段的長度.
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【題目】若直角坐標平面內(nèi)的兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P,Q關于原點對稱,則稱點對(P,Q)是函數(shù)y=f(x)的一對“友好點對”(點對(P,Q)與(Q,P)看作同一對“友好點對”).已知函數(shù)f(x)= ,則此函數(shù)的“友好點對”有( )
A.3對
B.2對
C.1對
D.0對
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