Question

設(shè)向量

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），記f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

11π

12

]的簡圖，并指出該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？
（Ⅲ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，試求出函數(shù)g（x）的最大值并指出x取何值時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值．

Answer 1

分析：（I）通過數(shù)量積的運(yùn)算，并且結(jié)合兩角和的正弦公式可得f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，進(jìn)而求出函數(shù)的周期．
（II）根據(jù)整體2x+

π

6

與x的范圍，取值列表，描點(diǎn)，連線進(jìn)而得到很多的圖象．
（III）根據(jù)題意可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．所以sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．所以g(x)∈[m，

3

2

+m]．結(jié)合題意求出m=2，所以g（x）的最大值為

7

2

．并且此時(shí)x=

π

3

．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f(x)=a•b=

3

sinxcosx+cos2x
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

所以最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π．             
（Ⅱ）

x	- π 12	2π 12	5π 12	8π 12	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	1 2	3 2	1 2	- 1 2	1 2

將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

單位得到函數(shù)y=sin(x+

π

6

)的圖象，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原為的

1

2

得到函數(shù)y=sin(2x+

π

6

)的圖象，最后再向上平移

1

2

個(gè)單位得到就可得到函數(shù)y=sin(2x+

π

6

)+

1

2

的圖象．
     
（Ⅲ）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．
所以sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
由g(x)=f(x)+m=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+m，
所以g(x)∈[m，

3

2

+m]．
又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，
所以m=2．
所以函數(shù)g（x）的最大值為

7

2

．
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，即x=

π

6

時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值

7

2

．

點(diǎn)評：熟練掌握數(shù)量積的運(yùn)算律，以及熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，如周期性，單調(diào)性，奇偶性，對稱性等性質(zhì)，這也是近幾年高考題中的常見題型．?