Question

【題目】已知函數(shù)定義在上且滿足下列兩個(gè)條件:

①對(duì)任意都有;

②當(dāng)時(shí),有，

（1）求，并證明函數(shù)在上是奇函數(shù)；

（2）驗(yàn)證函數(shù)是否滿足這些條件；

（3）若，試求函數(shù)的零點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).

【解析】

令代入即可求得，令，則可得，即可證明結(jié)論

根據(jù)函數(shù)的解析式求出定義域滿足條件，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算與并進(jìn)行比較，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷當(dāng)時(shí)，的符號(hào)，即可得證

用定義法先證明函數(shù)的單調(diào)性，然后轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點(diǎn)為，利用條件進(jìn)行求解

（1）對(duì)條件中的，令得.

再令可得

所以在（－1，1）是奇函數(shù).

(2)由可得，其定義域?yàn)椋?1，1），

當(dāng)時(shí)， ∴ ∴

故函數(shù)是滿足這些條件.

（3）設(shè)，則

，，

由條件②知，從而有，即

故上單調(diào)遞減，

由奇函數(shù)性質(zhì)可知,在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù).

原方程即為，在(-1,1)上單調(diào)

又

故原方程的解為.