Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線L:（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）

（Ⅰ）設(shè)與相交于兩點，求；

（Ⅱ）若把曲線上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1） (2)

【解析】

（I）把直線與曲線化為直角坐標(biāo)方程，將直線l與曲線C1聯(lián)立，即可得到交點坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|．

（II）根據(jù)伸縮變換得到曲線的參數(shù)方程，設(shè)曲線C2任意點P的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值即可．

（I）直線的普通方程為，的普通方程.

聯(lián)立方程組，解得與的交點為，則；

（Ⅱ）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），故點的坐標(biāo)為，

從而點到直線的距離是

由此當(dāng)時，取得最小值，且最小值為.