（2013•東城區(qū)一模）已知向量
OA
，
AB
，O是坐標原點，若|
AB
|=k|
OA
|，且
AB
方向是沿
OA
的方向繞著A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到的，則稱
OA
經(jīng)過一次（θ，k）變換得到
AB
．現(xiàn)有向量
OA
=（1，1）經(jīng)過一次（θ1，k1）變換后得到
AA1
，
AA1
經(jīng)過一次（θ2，k2）變換后得到
A1A2
，…，如此下去，
An-2An-1
經(jīng)過一次（θn，kn）變換后得到
An-1An
．設(shè)
An-1An
=（x，y），θn=
1
2n-1
，kn=
1
cosθn
，則y-x等于（　　）
分析：根據(jù)題意，可得（θ1，k1）=（1，
1
cos1
），即當n=1時，一次（θ1，k1）變換將
OA
逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，再將所得向量的長度再伸長為原來的
1
cosθ1
倍得到向量
AA1
．因此當
OA
=（1，1）時，運用矩陣變換公式，算出
OA
逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度所得向量
a
=（cos1-sin1，sin1+cos1），從而得到
AA1
=（x，y）=（1-
sin1
cos1
，
sin1
cos1
+1），所以y-x=
2sin1
cos1
．接下來再對A、B、C、D各項在n=1時的情況進行計算，對照所得結(jié)果可得只有B項是正確的選項．
解答：解：根據(jù)題意，θ1=
1
21-1
=1，k1=
1
cosθ1
=
1
cos1

∴一次（θ1，k1）變換就是將向量
OA
逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，
再將長度伸長為原來的
1
cos1
倍，
即
AA1
由
OA
逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度而得，且|
AA1
|=
1
cos1
|
OA
|
設(shè)向量
OA
逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，所得的向量為
a
=（x'，y'）
則有
cos1-sin1
sin1cos1
•
1 
1 
=
x′ 
y′ 
，
∴
x′=cos1-sin1
y′=sin1+cos1
，即向量
OA
逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，
得到向量
a
=（cos1-sin1，sin1+cos1），再將
a
的模長度伸長為原來的
1
cos1
倍，
得到
AA1
=
1
cos1
（cos1-sin1，sin1+cos1）=（1-
sin1
cos1
，
sin1
cos1
+1）
因此當n=1時，
AA1
=（x，y）=（1-
sin1
cos1
，
sin1
cos1
+1）
即
x=1-
sin1
cos1
y=
sin1
cos1
+1
，由此可得y-x=
sin1
cos1
+1-（1-
sin1
cos1
）=
2sin1
cos1

對于A，當n=1時
2sin[2-(
1
2
)n-1]
sin1sin
1
2
…sin
1
2n-1
=
2sin[2-(
1
2
)0]
sin1
=
2sin1
sin1
=2，與計算結(jié)果不相等，故A不正確；
對于B，當n=1時
2sin[2-(
1
2
)n-1]
cos1cos
1
2
…cos
1
2n-1
=
2cos[2-(
1
2
)0]
cos1
=
2sin1
cos1
，與計算結(jié)果相等，故B正確；
對于C，當n=1時
2cos[2-(
1
2
)n-1]
sin1sin
1
2
…sin
1
2n-1
=
2cos[2-(
1
2
)0]
sin1
=
2cos1
sin1
，與計算結(jié)果不相等，故C不正確；
對于D，當n=1時
2cos[2-(
1
2
)n-1]
cos1cos
1
2
…cos
1
2n-1
=
2cos[2-(
1
2
)0]
cos1
=
2cos1
cos1
=2，與計算結(jié)果不相等，故D不正確
綜上所述，可得只有B項符合題意
故選：B
點評：本題給出向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮，求向量
OA
=（1，1）經(jīng)過n變換（θn，kn）后得到的向量坐標，著重考查了向量的線性運算、用矩陣解決向量旋轉(zhuǎn)問題和數(shù)列的通項公式等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東城區(qū)一模）設(shè)A是由n個有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個數(shù)組，記作：A=（a1，a2，…，ai，…，an）．其中ai（i=1，2，…，n）稱為數(shù)組A的“元”，S稱為A的下標．如果數(shù)組S中的每個“元”都是來自 數(shù)組A中不同下標的“元”，則稱A=（a1，a2，…，an）為B=（b1，b2，…bn）的子數(shù)組．定義兩個數(shù)組A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）的關(guān)系數(shù)為C（A，B）=a1b1+a2b2+…+anbn．
（Ⅰ）若A=(-
1
2
，
1
2
)，B=（-1，1，2，3），設(shè)S是B的含有兩個“元”的子數(shù)組，求C（A，S）的最大值；
（Ⅱ）若A=(
3
3
，
3
3
，
3
3
)，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S為B的含有三個“元”的子數(shù)組，求C（A，S）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東城區(qū)一模）某游戲規(guī)則如下：隨機地往半徑為1的圓內(nèi)投擲飛標，若飛標到圓心的距離大于
1
2
，則成績?yōu)榧案�；若飛標到圓心的距離小于
1
4
，則成績?yōu)閮?yōu)秀；若飛標到圓心的距離大于
1
4
且小于
1
2
，則成績?yōu)榱己�，那么在所有投擲到圓內(nèi)的飛標中得到成績?yōu)榱己玫母怕蕿椋ā　。?/div>

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東城區(qū)一模）函數(shù)f(x)=sin(x-
π
3
)的圖象為C，有如下結(jié)論：
①圖象C關(guān)于直線x=
5π
6
對稱；
②圖象C關(guān)于點(
4π
3
，0)對稱；
③函數(shù)f（x）在區(qū)間[
π
3
，
5π
6
]內(nèi)是增函數(shù)，
其中正確的結(jié)論序號是
①②③
①②③
．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東城區(qū)一模）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合?UA為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東城區(qū)一模）數(shù)列{an}的各項排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一行增加兩項，若an=an（a≠0），則位于第10行的第8列的項等于
a89
a89
，a2013在圖中位于
第45行的第77列
第45行的第77列
．（填第幾行的第幾列）

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