已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-1,1),
n
=(1,2)
,點(diǎn)列Pn(an,bn)在L中,P1為L(zhǎng)與y軸的公共點(diǎn),等差數(shù)列{an}的公差為1.
(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若cn=
5
n|
P1Pn
|
(n≥2),c1=1
,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn滿足M+n2Sn≥6n對(duì)任意的n∈N*都成立,試求M的取值范圍.
分析:(I)首先運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算得
m
=(2x-1,1),
n
=(1,2)得:y=
m
n
=2x+1
,然后再根據(jù)等差通項(xiàng)公式得an=a1+(n-1)×1=n-1,最后再根據(jù)bn=2an+1,得bn=2n-1
(Ⅱ)利用條件可得cn=
1
n-1
-
1
n
,從而Sn=1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=2-
1
n
,故有
M+n2Sn≥6n可化為M+n2(2-
1
n
)≥6n,
要使M≥7n-2n2=-2(n-
7
4
)
2
+
49
8
對(duì)任意n∈N*都成立,
,從而可解.
解答:解:(I)由
m
=(2x-1,1),
n
=(1,2)得:y=
m
n
=2x+1

∴L:y=2x+1,P1(0,1),即a1=0,b1=1,故an=n-1,bn=2n-1(n∈N*
(Ⅱ)當(dāng)n≥2時(shí),Pn(n-1,2n-1),
P1Pn
=(n-1,2n-2)
,∴|
P1Pn
|=
5
(n-1)

cn=
5
n|
P1Pn
|
=
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n

Sn=1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=2-
1
n

M+n2Sn≥6n可化為M+n2(2-
1
n
)≥6n,
要使M≥7n-2n2=-2(n-
7
4
)2+
49
8
對(duì)任意n∈N*都成立,

只須M≥6,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立,即M的取值范圍為M≥6
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列與向量的綜合,考查裂項(xiàng)法求和,同時(shí)考查了最值法解決恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1),點(diǎn)列Pn(an,bn)在L中,P1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn),等差數(shù)列{an}的公差為1,n∈N*
(I)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若f(n)=
an  n為正奇數(shù)
bn  n為正偶數(shù)
,令Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n);試寫(xiě)出Sn關(guān)于n的函數(shù)解析式;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,1+b)
,又知點(diǎn)列Pn(an,bn)∈L,P1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn).等差數(shù)列{an}的公差為1,n∈N*
(Ⅰ)求Pn(an,bn);
(Ⅱ)若f(n)=
an,n=2k-1
bn,n=2k
k∈N*,f(k+11)=2f(k)
,求出k的值;
(Ⅲ)對(duì)于數(shù)列{bn},設(shè)Sn是其前n項(xiàng)和,是否存在一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)M,使
Sn
S2n
=M
,若存在,求出此常數(shù)M,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1)
,點(diǎn)列Pn(an,bn)在L中,P1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn),等差數(shù)列{an}的公差為1,(n∈N*
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若cn=
5
n•|P1Pn|
,(n≥2)
,求
lim
n→∞
(c2+c3+…+cn)

(3)若f(n)=
an,n=2k-1
bn,n=2k
(k∈N*)
,是否存在k∈N*,使得f(k+11)=2f(k),若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(理) 已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(x-2b,2)
,
n
=(1,b+1)
,點(diǎn)Pn(an,bn)∈L,P1=L∩{(x,y)|x=1},且an+1-an=1,則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為
 

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