已知二次函數(shù)f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9,
(1)若在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m,使得f(m)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若對(duì)區(qū)間[-1,1]內(nèi)的一切實(shí)數(shù)m都有f(m)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸分別表示出f(1),f(-1)和f(a-1),進(jìn)而根據(jù)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m,使得f(m)>0,推斷函數(shù)f(x)的最大值大于0,進(jìn)而根據(jù)a<1時(shí)和a≥1時(shí)的函數(shù)的最大值,求得a的范圍;
(2)依題意可知[f(x)]min>0,進(jìn)而看0≤a≤2和a>2時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)的最小值,進(jìn)而求得a的范圍.
解答:精英家教網(wǎng)解:∵f(x)的對(duì)稱軸x0=a-1,而f(1)=-a2-2a+15,
f(-1)=-a2+6a+7,f(a-1)=-3a2+6a+7;
(1)命題?[f(x)]max>0,(x∈[-1,1]),
①當(dāng)x0<0,即a<1時(shí),[f(x)]max
=f(1)>0?a2+2a-15<0?-5<a<3,得-5<a<1;
②當(dāng)x0≥0,即a≥1時(shí),[f(x)]max
=f(-1)>0?a2-6a-7<0?-1<a<7,得1≤a<7;
綜上,a的取值范圍是(-5,7);
(2)命題?[f(x)]min>0(x∈[-1,1]),精英家教網(wǎng)
①當(dāng)x0<-1,即a<0時(shí),[f(x)]min
=f(-1)>0?-1<a<7,得-1<a<0;
②當(dāng)-1≤x0≤1,即0≤a≤2時(shí),[f(x)]min
=f(a-1)>0?3a2-6a-7<0?
3-
30
3
<a<
3+
30
3
,
得0≤a≤2;
③當(dāng)x0>1,即a>2時(shí),[f(x)]min=f(1)>0?-5<a<3,
得2<a<3;
綜上,a的取值范圍是(-1,3).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)與方程得綜合運(yùn)用.考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解決方程問(wèn)題.
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問(wèn):是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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