Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+1在區(qū)間（-∞，-2]上是增函數(shù)，在區(qū)間[-2，2]上是減函數(shù)，且b≥0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設0＜m≤2，若對任意的t₁，t₂∈[m-2，m]，不等式

.

f(t1)- f(t2)

.

≤16m恒成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2]上單調遞增，在區(qū)間[-2，2]上單調遞減，若令f′（x）=0，則x₁=-2，x₂≥2，再由根與系數(shù)的關系得到x2=2-

2b

3

≥2，可得b≤0，結合b≥0以及f′（-2）=0，可得f（x）的表達式；
（2）若對任意的t₁，t₂∈[m-2，m]，不等式|f（t₁）-f（t₂）|≤16m恒成立，等價于[f（x）]_max-[f（x）]_min≤16m，求出函數(shù)的最值，即可確定m的取值范圍，從而可得m的最小值．

解答：解：（Ⅰ）求導函數(shù)可得f′（x）=3x²+2bx+c，
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2]上單調遞增，在[-2，2]上單調遞減，
若令f′（x）=0，則x₁=-2，x₂≥2
∴x1+x2=-

2b

3

，即x2=2-

2b

3

≥2，
∴b≤0，又∵b≥0，∴b=0，
從而f′（x）=3×（-2）²+c=0，∴c=-12，
所以f（x）=x³-12x+1；
（Ⅱ）求導數(shù)f′（x）=3（x+2）（x-2），
則f（x）在[-2，2]上單調遞減，在[2，+∞）上單調遞增
∵0＜m≤2，∴-2＜m-2≤0，∴f（x）在[m-2，m]上單調遞減
∴[f（x）]_max=f（m-2），[f（x）]_min=f（m）
依題意[f（x）]_max-[f（x）]_min≤16m，即3m²+2m-8≥0
∴m≤-2或m≥

4

3

又∵0＜m≤2，∴

4

3

≤m≤2．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，正確運用函數(shù)的單調性是關鍵．