Question

【題目】已知函數(shù).

(I) 求極大值；

(II) 求證：，其中, ．

(III)若方程有兩個(gè)不同的根, 求證:

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值是(II)見解析(III)見解析

【解析】

（Ⅰ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，讓導(dǎo)函數(shù)為零，求出根，列表，判斷極值情況，最后求出極大值；

(II) 法一：根據(jù)（Ⅰ）可以得到函數(shù)的最大值，結(jié)合求證的式子左右兩邊形式，能得到一個(gè)不等式， 然后累和，命題得證；

法二：有關(guān)正整數(shù)的命題，可以采用數(shù)學(xué)歸納法來證明。

(III)由（Ⅰ）可知，方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn),能得到 用分析法證明時(shí)，需要構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，證明分析法需要證明的不等式成立。

解：（Ⅰ）, 解得

	遞增	極大值	遞減

極大值是

(II) 法一：，

由（Ⅰ）得：在處取得極大值1，且該極值是唯一的，

則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，

故當(dāng)時(shí)，，

因此．

法二：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：，對(duì)恒成立．

（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，

左邊右邊，結(jié)論成立；

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，

當(dāng)時(shí)，左邊

，

而 ，

，

由（Ⅰ）得：在處取得極大值1，且該極值是唯一的，

則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，

則對(duì)恒成立，即

成立

故當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，

因此，綜合（1）（2）得，對(duì)恒成立

（III） 由（Ⅰ）知方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

則

分析法: 要證

令函數(shù),

由得

在上遞增,

即成立, 由上知成立.