Question

平面上有四點(diǎn)，連接其中的兩點(diǎn)的一切直線中的任何兩條直線不重合、不平行、不垂直，從每一點(diǎn)出發(fā)，向其他三點(diǎn)作成的一切直線作垂線，則這些垂線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為（ ）
A．66
B．60
C．52
D．44

Answer 1

【答案】分析：本題得從正面利用分類原理分類來(lái)做，先先研究從共A點(diǎn)的三條垂線與從它三點(diǎn)出發(fā)的垂線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求出與垂線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，對(duì)其它點(diǎn)可用同理求出，最后加在一起．
解答：解：先研究從共A點(diǎn)的三條垂線與從它三點(diǎn)出發(fā)的垂線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：從A點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線有1個(gè)交點(diǎn)，
從A點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線與從B點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線中各有一條線與CD垂直，故從A出發(fā)的與CD垂直的直線與B點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線有兩個(gè)交點(diǎn)，從A點(diǎn)出發(fā)的另兩個(gè)垂線與B點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)垂線各有三個(gè)交點(diǎn)，故從A，B出發(fā)的垂線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2+3+3=8，
同理從A，C； A，D出發(fā)的垂線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也為2+3+3=8，
從B，D；B，C；C，D出發(fā)的垂線交點(diǎn)個(gè)數(shù)也為8個(gè)，而各點(diǎn)出發(fā)的三條垂線本身一個(gè)交點(diǎn)，由此各得1+1+1+1+8×6=52．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了計(jì)數(shù)原理在平面幾何中的應(yīng)用，根據(jù)題意排除法不易做，正面利用分類原理雖然麻煩，但是不易出錯(cuò)，注意按一定順序去求，考查了分析和解決問(wèn)題的能力．