Question

（2011•沈陽二模）如圖，△ABC中，sin

∠ABC

2

=

3

3

，AB=2，點D在線段AC上，且AD=2DC，BD=

4 3

3

．（Ⅰ）求：BC的長；（Ⅱ）求△DBC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由sin

∠ABC

2

的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cos∠ABC的值，設BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到關于a與b的關系式，記作①，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分別表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于兩角互補，得到cos∠ADB等于-cos∠BDC，兩個關系式互為相反數(shù)，得到a與b的另一個關系式，記作②，①②聯(lián)立即可求出a與b的值，即可得到BC的值；
（Ⅱ）由角ABC的范圍和cos∠ABC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sin∠ABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的面積等于三角形ABC面積的

1

3

，進而求出三角形BDC的面積．

解答：解：（Ⅰ）因為sin

∠ABC

2

=

3

3

，所以cos∠ABC=1-2sin2

∠ABC

2

=1-2×

1

3

=

1

3

．（2分）
在△ABC中，設BC=a，AC=3b，
由余弦定理可得：9b2=a2+4-

4

3

a ①（5分）
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：
cos∠ADB=

4b2+ 16 3 -4

16 3 3 b

，cos∠BDC=

b2+ 16 3 -a2

8 3 3 b

．（7分）
因為cos∠ADB=-cos∠BDC，所以有

4b2+ 16 3 -4

16 3 3 b

=-

b2+ 16 3 -a2

8 3 3 b

，所以3b²-a²=-6 ②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3．（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC=

1

3

，則sin∠ABC=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，又AB=2，BC=3，
則△ABC的面積為

1

2

AB•BCsin∠ABC=

1

2

×2×3×

2 2

3

=2

2

，
又因為AD=2DC，所以△DBC的面積為

1

3

×2

2

=

2 2

3

．（12分）

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系及余弦定理化簡求值，靈活運用三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．