Question

【題目】如圖，已知橢圓： ， 其左右焦點(diǎn)為及，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為， 的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，且、、構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求橢圓的方程；

（2）記的面積為， （為原點(diǎn)）的面積為，試問：是否存在直線，使得？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）由題意得，又，所以，于是可得橢圓的方程．（2）假設(shè)存在直線滿足條件．將轉(zhuǎn)化為，可根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，將直線方程代入橢圓方程消元后可得二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和兩點(diǎn)間的距離可得關(guān)于（直線斜率）的方程，解方程可得的值，由此判斷結(jié)論是否成立即可．

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>、、構(gòu)成等差數(shù)列，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以橢圓的方程為．

（2）假設(shè)存在直線，使得，顯然直線不能與, 軸垂直．

設(shè)方程為 ，

由消去y整理得，

顯然．

設(shè)， ，則，

故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

所以．

設(shè),因?yàn)?/span>，所以，

解得，即．

∵和相似，且，

則，

∴，

整理得，

解得，所以，

所以存在直線滿足條件，且直線的方程為.