【題目】已知數(shù)列和都是等差數(shù)列,.數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式;
(2)證明:是等比數(shù)列;
(3)是否存在首項為1,公比為q的等比數(shù)列,使得對任意,都有成立?若存在,求出q的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)存在,.
【解析】
(1)設的公差為d,可得,, 由是等差數(shù)列,可得成等差數(shù)列,可得,求出的值,可得的通項公式;
(2)將展開,可得,將代入此式子相減,可得,再將代入此式子相減,可得,此時,驗證時也滿足可得是等比數(shù)列;
(3)設存在對任意,都有恒成立,即,,易得,由由得,,可得設,對其求導,可得其最小值,可得q的取值范圍.
解:(1)因為數(shù)列是等差數(shù)列,設的公差為d,則
,,
因為是等差數(shù)列,所以成等差數(shù)列,
即,,
解得,當時,,此時是等差數(shù)列.
故.
(2)由,即, ①
所以, ②
②-①得,, ③
所以,, ④
④-③得,,即時,,
在①中分別令得,,也適合上式,
所以,,
因為是常數(shù),所以是等比數(shù)列.
(3)設存在對任意,都有恒成立,
即,,
顯然,由可知,,
由得,,.
設,因為,
所以當時,,遞增;
當時,,遞減.
因為,所以,
解得,
綜上可得,存在等比數(shù)列,使得對任意,都有恒成立, 其中公比的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)且).在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的極坐標方程及曲線的直角坐標方程;
(2)若點在直線上,點在曲線上,求證:.
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【題目】橢圓()的離心率是,點在短軸上,且。
(1)球橢圓的方程;
(2)設為坐標原點,過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請說明理由。
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【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD//平面BCC1B1,AD⊥DB.求證:
(1)BC//平面ADD1A1;
(2)平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.
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【題目】某人某天的工作是:駕車從地出發(fā),到兩地辦事,最后返回地,三地之間各路段行駛時間及當天降水概率如表:
路段 | 正常行駛所需時間(小時) | 上午降水概率 | 下午降水概率 |
2 | 0.3 | 0.6 | |
2 | 0.2 | 0.7 | |
3 | 0.3 | 0.9 |
若在某路段遇到降水,則在該路段行駛的時間需延長1小時,現(xiàn)有如下兩個方案:
方案甲:上午從地出發(fā)到地辦事,然后到達地,下午在地辦事后返回地;
方案乙:上午從地出發(fā)到地辦事,下午從地出發(fā)到達地, 辦事后返回地.
(1)設此人8點從地出發(fā),在各地辦事及午餐的累積時間為2小時.且采用方案甲,求他當日18點或18點之前能返回地的概率;
(2)甲、乙兩個方案中,哪個方案有利于辦完事后能更早返回地?
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【題目】中國“一帶一路”戰(zhàn)略構(gòu)思提出后,某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的機遇,決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設備.生產(chǎn)這種設備的年固定成本為500萬元,每生產(chǎn)x臺,需另投入成本萬元,當年產(chǎn)量不足60臺時,萬元;當年產(chǎn)量不小于60臺時,萬元若每臺設備售價為100萬元,通過市場分析,該企業(yè)生產(chǎn)的電子設備能全部售完.
求年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)關(guān)系式;
當年產(chǎn)量為多少臺時,該企業(yè)在這一電子設備的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓截直線所得的線段的長度為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓交于兩點,點是橢圓上的點,是坐標原點,若,判定四邊形的面積是否為定值?若為定值,求出定值;如果不是,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.
(1)求的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)求曲線C上的點到距離的最大值及該點坐標.
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