Question

已知點(diǎn)A（2，0），B（0，6），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)C在線段OB上，且∠ACB=

3π

4

，求△ABC的面積；
（2）若原點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D，延長BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直線L：ax+10y+84-108

3

=0經(jīng)過點(diǎn)P，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)條件求出AC的斜率，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即得邊長BC，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)就是三角形的高，代入三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．
（2）利用對稱的特點(diǎn)，待定系數(shù)法求出原點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)，由題意可得

PD

=2

DB

，把相關(guān)向量的坐標(biāo)代入，利用兩個(gè)向量相等的條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入代入直線l的方程，求出a，即得直線l的斜率，由斜率求直線l的傾斜角．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C在線段OB上，且∠ACB=

3π

4

，∴∠ACO=

π

4

，故AC的傾斜角為

3π

4

，
故AC的斜率為-1，設(shè)點(diǎn)C（0，b），由-1=

0-b

2-0

  得 b=2，即點(diǎn)C（0，2），
 BC=4，點(diǎn)A到BC的距離為2，故△ABC的面積為  

1

2

×4×2=4．
（2）設(shè)D（m，n），點(diǎn)P（c，d），AB的方程

x

2

+

y

6

=1，即  3x+y-6=0，
由

n m = -1 -3 = 1 3   3• m 2 + n 2 -6=0

  得 m=

18

5

，n=

6

5

，故D（

18

5

，

6

5

），

PD

=（

18

5

-c，

6

5

-d），

DB

=（-

18

5

，

24

5

），
由題意知，

PD

=2

DB

，
∴

18

5

-c=-

36

5

，

6

5

-d=

48

5

，解得 c=

54

5

，d=-

42

5

，
故P（

54

5

，-

42

5

），把P（

54

5

，-

42

5

）代入直線l：ax+10y+84-108

3

=0，
得 a•

54

5

+10•

-42

5

+84-108

3

=0，即得 a=10

3

．
∴直線l的斜率為

-a

10

=-

3

，故直線l的傾斜角為 120°．

點(diǎn)評：本題考查直線的傾斜角的定義，傾斜角與斜率的關(guān)系；點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)求法，兩個(gè)向量相等時(shí)向量坐標(biāo)間的關(guān)系．