Question

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)證明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積；

(3)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）3（3）

【解析】(1)如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接CO，A1O.

∵CA＝CB，∴CO⊥AB，

又∵AA1＝AB，得AA1＝2AO，

又∠A1AO＝60°，

∴∠AOA1＝90°，即AB⊥A1O，

∴AB⊥平面A1OC，又A1C?平面A1OC，

∴AB⊥A1C.

(2)∵AB＝CB＝2＝AC，∴CO＝，

又A1A＝AB＝2，∠BAA1＝60°，

∴在等邊三角形AA1B中，A1O＝，

∵A1C2＝A1O2＋CO2＝6，

∴∠COA1＝90°，即A1O⊥CO，

∴A1O⊥平面ABC，

∴VABC－A1B1C1＝×22×＝3.

(3)作輔助線同(1)

以O為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OA1所在直線為y軸，OC所在直線為z軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，則＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，設(shè)n＝(x，y，z)為平面BB1C1C的法向量，則即所以n＝(，1，－1)，

則cos<n，＝＝－，

所以A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為.