(2012•江西模擬)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1
,x∈R,將函數(shù)f(x)向左平移
π
6
個單位后得函數(shù)g(x),設(shè)△ABC三個角A、B、C的對邊分別為a、b、c.
(Ⅰ)若c=
7
,f(C)=0,sinB=3sinA,求a、b的值;
(Ⅱ)若g(B)=0且
m
=(cosA,cosB)
,
n
=(1,sinA-cosAtanB)
,求
m
n
的取值范圍.
分析:(Ⅰ)利用三角恒等變換化簡f(x)為sin(2x-
π
6
)-1
,由f(C)=0求得sin(2C-
π
6
)=1
,C=
π
3
,由余弦定理知:a2+b2-2abcos
π
3
=7
,因sinB=3sinA,可得b=3a,由此求得a、b的值.
(Ⅱ)由題意可得g(x)=sin(2x+
π
6
)-1
,由g(B)=0求得sin(2B+
π
6
)=1
,故2B+
π
6
=
π
2
,化簡
m
n
等于sin(A+
π
6
),根據(jù)A+
π
6
的范圍求得
m
n
的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x-1=sin(2x-
π
6
)-1
.…(1分)
f(C)=sin(2C-
π
6
)-1=0
,所以sin(2C-
π
6
)=1

因為2C-
π
6
∈(-
π
6
,
11π
6
)

所以2C-
π
6
=
π
2

所以C=
π
3
.…(3分)
由余弦定理知:a2+b2-2abcos
π
3
=7
,因sinB=3sinA,
所以由正弦定理知:b=3a.…(5分)
解得:a=1,b=3…(6分)
(Ⅱ)由題意可得g(x)=sin(2x+
π
6
)-1
,所以g(B)=sin(2B+
π
6
)-1=0
,所以sin(2B+
π
6
)=1

因為2B+
π
6
∈(
π
6
13π
6
)
,所以2B+
π
6
=
π
2
,即B=
π
6

m
=(cosA,
3
2
)
,
n
=(1,sinA-
3
3
cosA)

于是
m
n
=cosA+
3
2
(sinA-
3
3
cosA)=
1
2
cosA+
3
2
sinA=sin(A+
π
6
)
…(8分)
B=
π
6
∴A∈(0,
5
6
π)
,得 A+
π
6
∈(
π
6
,π)
…(10分)
sin(A+
π
6
)∈(0,1]
,即
m
n
∈(0,1]
.…(12分)
點評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用,解三角形,屬于中檔題.
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+a
PA
+b
PB
=
0
,則△ABC的形狀為(  )

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1anan+1
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和.
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x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右頂點A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸進線的交點分別為B、C.若
AB
=
1
2
BC
,則雙曲線的離心率是
5
5

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