已知兩點M（0，-
3
）和N（0，
3
），若直線上存在點P，使
.
PM 
  
.
-
.
PN 
  
.
=2，則稱該直線為“和諧直線”．現(xiàn)給出下列直線：①x=2；②x-2y-3=0；③y=
2
2
x；④2x+3y-1=0，其中為“和諧直線”的是
 
（請寫出符合題意的所有編號）．
分析：由題意可知點P必在雙曲線y2-
x2
2
=1，把所給的直線方程與此雙曲線的方程聯(lián)立，只要有解就說明此直線是“和諧直線”．否則就不是．
解答：解：由題意可知點P必在雙曲線y2-
x2
2
=1，
①聯(lián)立
2y2-x2=2
x=2
，解得
x=2
y=±
3
，∴直線x=2上存在點P(2，±
2
)滿足題意，故直線x=2是“和諧直線”．
②聯(lián)立
2y2-x2=2
x-2y-3=0
，且y＞0，消去x得到2y2+12y+11=0，△=122-4×2×11=56＞0，但是
y1+y2=-6
y1y2=
11
2
因此此方程的y無大于0的解，∴此直線上存不在點P滿足題意，故此直線不是“和諧直線”．
③聯(lián)立
2y2-x2=2
y=
2
2
x
，消去y化為0=2，∴此方程組無解，∴直線y=
2
2
x上不存在點P滿足題意，故此直線不是“和諧直線”．
①聯(lián)立
2y2-x2=2
2x+3y-1=0
，解得
x=-4
y=3
，∴此直線上存在點P（-4，3）滿足題意，故此直線是“和諧直線”．
綜上可知：只有①④正確．
故答案為①④．
點評：由題意正確得出雙曲線的方程和理解“和諧直線”的意義是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M （1，-3）、N（5，1），若點C滿足
OC
=t
OM
+（1-t）
ON
（t∈R），點C的軌跡與拋物線：y2=4x交于A、B兩點．
（1）求證：
OA
⊥
OB
；
（2）在x軸上是否存在一點P （m，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦為直徑的圓都過原點．若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，-3）、N（5，1），若點C滿足
OC
=t
OM
+（1-t）
ON
（t∈R），點C的軌跡與拋物線：y2=4x交于A、B兩點．
（Ⅰ）求證：
OA
⊥
OB
；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點P（m，0）（m∈R），使得過P點的直線交拋物線于D、E兩點，并以該弦DE為直徑的圓都過原點．若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•臺州二模）已知兩點M（2，3），N（2，-3）在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，斜率為
1
2
的直線l與橢圓C交于點A，B（A，B在直線MN兩側(cè)），且四邊形MANB面積的最大值為12
3
．w
（I）求橢圓C的方程；
（II）若點N到直線AM，BM距離的和為6
2
，試判斷△MAB的形狀．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•花都區(qū)模擬）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，-3），N（5，1），若動點C滿足
NC
=t
NM
且點C的軌跡與拋物線y2=4x交于A，B兩點．
（1）求證：
OA
⊥
OB
；
（2）在x軸上是否存在一點P（m，0）（m≠0），使得過點P的直線l交拋物線y2=4x于D，E兩點，并以線段DE為直徑的圓都過原點．若存在，請求出m的值及圓心M的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

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