【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(3)若對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)見解析(3).
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)時(shí),,則,即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)當(dāng)時(shí),,對(duì)求導(dǎo),分別求出與,即可得切線方程,再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間;(3)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),討論和時(shí),函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求出,即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),
∴,
∴函數(shù)的圖象無論為何值都經(jīng)過定點(diǎn).
(2)當(dāng)時(shí),.
,,,
則切線方程為,即.
在時(shí),如果,
即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;
如果,
即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.
(3),.
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.
,不恒成立.
當(dāng)時(shí),設(shè),.
∵的對(duì)稱軸為,,
∴在上單調(diào)遞增,且存在唯一,
使得.
∴當(dāng)時(shí),,即,在上單調(diào)遞減;
∴當(dāng)時(shí),,即,在上單調(diào)遞增.
∴在上的最大值.
∴,得,
解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班級(jí)體育課舉行了一次“投籃比賽”活動(dòng),為了了解本次投籃比賽學(xué)生總體情況,從中抽取了甲乙兩個(gè)小組樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示.
5 | 6 | 5 | 8 | ||||||
6 | 0 | 1 | 3 | 6 | 2 | 4 | 6 | 9 | |
7 | 1 | 2 | 7 | 1 | 3 | ||||
8 | 0 | 1 | 8 | 1 | |||||
甲 | 乙 |
(1)分別求甲乙兩個(gè)小組成績的平均數(shù)與方差;
(2)分析比較甲乙兩個(gè)小組的成績;
(3)從甲組高于70分的同學(xué)中,任意抽取2名同學(xué),求恰好有一名同學(xué)的得分在[80,90)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中目標(biāo)的概率都是0.7.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次,至少擊中2次的概率:先由計(jì)算器算出0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0,1,2表示沒有擊中目標(biāo),3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo);因?yàn)樯鋼?次,故以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
據(jù)此估計(jì),該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中2次的概率為( )
A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn),x軸于點(diǎn)D.記滿足的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為Γ.
(1)求軌跡Γ的方程;
(2)已知直線與軌跡Γ交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn),射線OG交軌跡Γ于點(diǎn)Q,且.
①證明:
②求△AOB的面積S(λ)的解析式,并計(jì)算S(λ)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn),直線的方程為.
①設(shè)直線與圓交于不同兩點(diǎn), ,求的取值范圍;
②求與動(dòng)直線恒相切的定橢圓的方程;并探究:若是曲線: 上的動(dòng)點(diǎn),是否存在直線: 恒相切的定曲線?若存在,直接寫出曲線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某機(jī)構(gòu)組織語文、數(shù)學(xué)學(xué)科能力競賽,按照一定比例淘汰后,頒發(fā)一二三等獎(jiǎng).現(xiàn)有某考場的兩科考試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示,其中數(shù)學(xué)科目成績?yōu)槎泉?jiǎng)的考生有人.
(Ⅰ)求該考場考生中語文成績?yōu)橐坏泉?jiǎng)的人數(shù);
(Ⅱ)用隨機(jī)抽樣的方法從獲得數(shù)學(xué)和語文二等獎(jiǎng)的學(xué)生中各抽取人,進(jìn)行綜合素質(zhì)測試,將他們的綜合得分繪成莖葉圖,求樣本的平均數(shù)及方差并進(jìn)行比較分析;
(Ⅲ)已知本考場的所有考生中,恰有人兩科成績均為一等獎(jiǎng),在至少一科成績?yōu)橐坏泉?jiǎng)的考生中,隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談,求兩人兩科成績均為一等獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并加以證明;
(2)用定義證明在上是減函數(shù);
(3)函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)?(直接寫出答案,不要求寫證明過程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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