Question

20．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的右焦點(diǎn)作傾斜角為45°的弦AB．求：
（1）弦AB的中點(diǎn)C到右焦點(diǎn)F₂的距離；
（2）弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）求出直線AB的方程，代入雙曲線方程，求出C的坐標(biāo)，即可求弦AB的中點(diǎn)C到右焦點(diǎn)F₂的距離；
（2）利用弦長公式求弦AB的長．

解答 解：（1）由已知，AB的方程為y=x-5，
將其代入$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得7x²+90x-369=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{90}{7}$，∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{45}{7}$，解得$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{80}{7}$
AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{45}{7}$，-$\frac{80}{7}$）．
于是|CF|=$\sqrt{（-\frac{45}{7}-5）^{2}+（-\frac{80}{7}-0）^{2}}$=$\frac{80\sqrt{2}}{7}$；
（2）弦AB的長=$\sqrt{1+1}•\sqrt{（-\frac{90}{7}）^{2}+4×\frac{369}{7}}$=$\frac{224}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．