Question

20．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|+|x-2a|-3a），若?x∈R，f（x-1）≤f（x），則正數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{36}$]
• B． （0，$\frac{1}{9}$]
• C． （0，$\frac{1}{6}$]
• D． （0，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 把x≥0時(shí)，將f（x）改寫(xiě)成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時(shí)的函數(shù)的最大值，由對(duì)?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），可得2a-（-4a）≤1，求解正數(shù)a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-3a}&{x＞2a}\\{-a}&{a＜x＜2a}\\{-x}&{0≤x≤a}\end{array}\right.$，
由f（x）=x-3a，x＞2a，得f（x）＞-a；
當(dāng)a＜x≤2a時(shí)，f（x）=-a；
由f（x）=-x，0≤x≤a，得f（x）≥-a．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）_min=-a．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）_max=a．
∵對(duì)?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），
∴2a-（-4a）≤1，解得：a＜$\frac{1}{6}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{6}$]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．