Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，且傾斜角為60°的直線l過(guò)點(diǎn)(0，-2

3

)和橢圓C的右焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若已知D（3，0），點(diǎn)M，N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn)，且

DM

=λ

DN

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知中的斜率和所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線的方程，直線與x軸的焦點(diǎn)就是橢圓的右焦點(diǎn)，進(jìn)而求得c，再利用離心率求得a．進(jìn)而根據(jù)b=

a2-b2

求得b，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)

DM

=λ

DN

可推斷D，M，N三點(diǎn)共線，又依據(jù)D在x軸上，可分析MN與x軸重合時(shí)，根據(jù)向量的關(guān)系求得λ的值；當(dāng)MN與x軸不重合時(shí)通過(guò)直線與橢圓方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理和

DM

=λ

DN

的關(guān)系求得λ的范圍．最后綜合答案可得．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得直線l：y=

3

x-2

3

，
∴橢圓的右焦點(diǎn)（2，0）∴

2

a

=

6

3

，
∴a=

6

，b=

2

，
橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由

DM

=λ

DN

知，D，M，N三點(diǎn)共線，
又點(diǎn)D在x軸上，∴直線MN有以下兩種情況：
①當(dāng)直線MN與x軸重合時(shí)，M，N為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，
由

DM

=λ

DN

，得，λ=5±2

6

；
②當(dāng)直線MN與x軸不重合時(shí)，
設(shè)MN：x=my+3，由

x=my+3 x2 6 + y2 2 =1

消去x得，
（m²+3）y²+6my+3=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y1+y2=-

6m

m2+3

①y1y2=

3

m2+3

②，
由△=（6m）²-12（m²+3）＞0得m2＞

3

2

又

DM

=λ

DN

，∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂），
且λ＞0，λ≠1，∴y₁=λy₂③，
由①②③得λ+

1

λ

=

y1

y2

+

y2

y1

=

(y1+y2)2

y1y2

=10-

36

m2+3

，∵m2＞

3

2

∴2＜λ+

1

λ

＜10，解得，5-2

6

＜λ＜5+2

6

且λ≠1
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[5-2

6

，1)∪(1，5+2

6

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系．常需要直線與橢圓方程聯(lián)立，消元后利用韋達(dá)定理找到解決問(wèn)題的突破口．