Question

如圖，四棱錐中，面面，底面是直角梯形，側(cè)面是等腰直角三角形．且∥，，，．

（1）判斷與的位置關(guān)系；
（2）求三棱錐的體積；
（3）若點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，當(dāng)//平面時(shí)，求的長(zhǎng).

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：本題以四棱錐為幾何背景考查線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行的判定，在解題過(guò)程中還遇到了等腰直角三角形和直角梯形以及相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.第一問(wèn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024523936555.png" style="vertical-align:middle;" />是等腰直角三角形，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024523390534.png" style="vertical-align:middle;" />是直角梯形且，所以四邊形為正方形，所以，所以平面，所以；第二問(wèn)，先利用面面垂直，可得到線(xiàn)面垂直，得到錐體的高，用等體積法將轉(zhuǎn)化為,再利用體積公式求值；第三問(wèn)，先在面內(nèi)找到線(xiàn)，這是由于// 平面，再利用相似三角形，得到邊長(zhǎng)的關(guān)系，所以，所以.
試題解析：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024524342540.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024523390534.png" style="vertical-align:middle;" />為直角梯形，，，
所以四邊形為正方形，所以．
所以平面．    所以 ．             4分
（2）由，面面易得
所以，       8分
（3）解：連接交于點(diǎn)，面面.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024523812424.png" style="vertical-align:middle;" />//平面，所以//．
在梯形中，有與相似，
可得
所以，               12分