【題目】若動點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之和為.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程,并在答題卡所示位置畫出方程的曲線草圖;
(2)(理)記(1)得到的軌跡為曲線,問曲線上關(guān)于點(diǎn)對稱的不同點(diǎn)有幾對?請說明理由.
(3)(文)記(1)得到的軌跡為曲線,若曲線上恰有三對不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱,求的取值范圍.
【答案】(1)點(diǎn)的軌跡方程為,作圖見解析 (2)答案不唯一 ,見解析(3)
【解析】
(1)根據(jù)條件列方程,化簡即得軌跡方程,再根據(jù)軌跡形狀畫圖;
(2)結(jié)合圖象易得關(guān)于軸對稱點(diǎn)的個數(shù),再利用方程求解不關(guān)于軸對稱點(diǎn)的個數(shù),最后綜合得結(jié)果;
(3)結(jié)合圖象易得關(guān)于軸對稱點(diǎn)的有一對,再利用方程求解不關(guān)于軸對稱點(diǎn)的對數(shù)為兩對的條件,即得結(jié)果.
解:、設(shè),由題意
①:當(dāng)時,有,化簡得:
②:當(dāng)時,有,化簡得:(二次函數(shù))
綜上所述:點(diǎn)的軌跡方程為(如圖)
、(理)當(dāng)或顯然不存在符合題意的對稱點(diǎn)
當(dāng)時,注意到曲線關(guān)于軸對稱,至少存在一對(關(guān)于軸對稱的)對稱點(diǎn)
下面研究曲線上關(guān)于對稱但不關(guān)于軸對稱的對稱點(diǎn)
設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn),則,它關(guān)于的對稱點(diǎn)為,由于點(diǎn)在軌跡上,
所以,
聯(lián)立方程組(*)得,
化簡得
①當(dāng)時,,此時方程組(*)有兩解,即增加有兩組對稱點(diǎn)。
②當(dāng)時,,此時方程組(*)只有一組解,即增加一組對稱點(diǎn)。(注:對稱點(diǎn)為,)
③當(dāng)時,,此時方程組(*)有兩解為,沒有增加新的對稱點(diǎn)。
綜上所述:
(3)、(文)若,則,所以曲線關(guān)于軸對稱,
所以一對存在關(guān)于軸對稱的對稱點(diǎn)
下面研究曲線上關(guān)于對稱但不關(guān)于軸對稱的對稱點(diǎn)
設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn),則,它關(guān)于的對稱點(diǎn)為,由于點(diǎn)在軌跡上,
所以,聯(lián)立方程組(*)得,化簡得
當(dāng)時,,此時方程組(*)有兩解,即增加有兩組對稱點(diǎn)。
所以的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:已知正方形的邊長為,沿著對角線將折起,使到達(dá)的位置,且.
(1)證明:平面平面;
(2)若是的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn),
(i)求證:此零點(diǎn)是的極值點(diǎn);
(ⅱ)求證:.
(本題可能會用到的數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(a,b∈R)為奇函數(shù).
(1)求b值;
(2)當(dāng)a=﹣2時,存在x0∈[1,4]使得不等式f(x0)≤t成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)當(dāng)a≥1時,求證:函數(shù)g(x)=f(2x)﹣c(c∈R)在區(qū)間(﹣∞,﹣1]上至多有一個零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若是的極值點(diǎn),且曲線在兩點(diǎn), 處的切線互相平行,這兩條切線在y軸上的截距分別為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐的底面ABCD為直角梯形,,,,為正三角形.
Ⅰ點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn),若平面SDM,,求實(shí)數(shù)的值;
Ⅱ若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體中,、分別是棱、的中點(diǎn),、分別是線段與上的點(diǎn),則與平面平行的直線有( )
A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.求證:存在無窮多個互不相同的整數(shù),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】長軸長為的橢圓的中心在原點(diǎn),其焦點(diǎn),在軸上,拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為軸,兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn), 且,的面積為3.
(1)求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作直線分別與拋物線和橢圓交于,,若,求直線的斜率.
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