Question

已知、是拋物線(＞0)上異于原點的兩點，則“=0”是“直線恒過定點()”的（    ）

A．充分非必要條件	B．充要條件
C．必要非充分條件	D．非充分非必要條件

Answer 1

B

解：由推“直線AB恒過定點（2p，0）”
設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）當(dāng)直線l有存在斜率時，設(shè)直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．
聯(lián)立方程得：消去y得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0

又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，

故直線l的方程為：y=kx-2pk=k（x-2p），故直線過定點（2p，0）
（II）當(dāng)直線l不存在斜率時，設(shè)它的方程為x=m，顯然m＞0

又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直線l方程為：x=2，故直線過定點（2，0）
綜合（1）（2）可知，滿足條件的直線過定點（2，0）．
由“直線AB恒過定點（2p，0）”推
設(shè)l：x=ty+2p代入拋物線y²=2px消去x得，
y²-2pty-4p²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-4p²
∴=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+2p）（ty₂+2p）+y₁y₂
=t²y₁y₂+2pt（y₁+y₂）+4p²+y₁y₂
=-4p²t²+4p²t²+4p²-4p²=0．
∴是“直線AB恒過定點（2p，0）”的充要條件．
故選B．