Question

已知函數(shù)．
(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0．

Answer 1

（1）m=1(討論見(jiàn)解析)；
（2）見(jiàn)解析．

(1)．
由x=0是f(x)的極值點(diǎn)得f '(0)=0，所以m=1．
于是f(x)=e^x－ln(x+1)，定義域?yàn)?－1，+∞)，．
函數(shù)在(－1，+∞)上單調(diào)遞增，且f '(0)=0，因此當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)， f '(x)<0;當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)， f '(x)>0．
所以f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增．
(2)當(dāng)m≤2，x∈(－m，+∞)時(shí)，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需證明當(dāng)m=2時(shí)， f(x)>0．
當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在(－2，+∞)上單調(diào)遞增．
又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一實(shí)根，且．
當(dāng)時(shí)， f '(x)<0;當(dāng)時(shí)， f '(x)>0，從而當(dāng)時(shí)，f(x)取得最小值．
由f '(x₀)=0得=，，
故．
綜上，當(dāng)m≤2時(shí)， f(x)>0．