Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓方程；

（2）記與的面積分別為和，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）。

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)條件一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，根據(jù)橢圓方程可以列出：，所以，于是可以求出橢圓方程為，本問(wèn)考查橢圓方程的求法，屬于簡(jiǎn)單題，為基礎(chǔ)知識(shí)的考查，容易得分；

（2）首先討論當(dāng)直線斜率l不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)C,D兩點(diǎn)坐標(biāo)可求，△ABD與△ABC面積相等，S1-S2=0，再討論當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l方程根據(jù)點(diǎn)斜式可以設(shè)為y=k（x+1）,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，判別式△>0顯然成立，設(shè)C（x1,y1）,D（x2,y2）,（y1y2<0）,可以得到，根據(jù)題意，，，所以

。從而求出的最大值。本問(wèn)考查直線與橢圓的位置關(guān)系，要求學(xué)生有一定的分析能力和轉(zhuǎn)化能力，能夠利用函數(shù)、方程、不等式的思想求最值。

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>為橢圓的焦點(diǎn)，所以，又，

所以，所以橢圓方程為.

（2）當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí),直線方程為,此時(shí)

,,.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，

聯(lián)立得，消掉得，

顯然，方程有根，且.

此時(shí)

.

因?yàn)?/span>，上式，（時(shí)等號(hào)成立），

所以的最大值為.