已知橢圓的焦點為，點是橢圓上的一點，與軸的交點恰為的中點， .
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為橢圓的右頂點，過焦點的直線與橢圓交于不同的兩點,求面積的取值范圍.

（1）（2）

解析試題分析：（1）根據(jù)已知分析可得點橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為,，即點。法一：將代入橢圓方程，結(jié)合且，解方程組可得的值。法二：根據(jù)橢圓的定義求點到兩焦點的距離的和即為，再根據(jù)關(guān)系式求得。（2）設(shè)過點的直線的斜率為,顯然（注意討論直線斜率存在與否）。當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，將代入橢圓方程可得的縱坐標(biāo)，從而可得，根據(jù)橢圓圖像的對稱性可知，因此可得。當(dāng)直線斜率存在時設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，消去（或）得關(guān)于的一元二次方程，從而可得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)弦長公式求，再用點到線的距離公式求點到直線的距離，所以。最后根據(jù)基本不等式求其范圍即可。
解：（1）因為為的中點，為的中點，，
所以，且.                          1分
所以.
因為，
所以.                               2分
因為,                              3分
所以.
所以橢圓的方程為.                               4分
（2）設(shè)過點的直線的斜率為,顯然.
（1）當(dāng)不存在時，直線的方程為，                      
所以.
因為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（13分）（2011•天津）設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．點P（a，b）滿足|PF2|=|F1F2|．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF2與圓（x+1）2+=16相交于M，N兩點，且|MN|=|AB|，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，在x軸負(fù)半軸上有一點B，滿足三點的圓與直線相切.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸相交于點P（m，0），求實數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過點P（1.），離心率e=，直線l的方程為x=4.

（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓，直線的方程為，過右焦點的直線與橢圓交于異于左頂點的兩點，直線，交直線分別于點，．
（1）當(dāng)時，求此時直線的方程；
（2）試問，兩點的縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點，是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同點，直線與軸分別交于點.判斷以為直徑的圓是否過點，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知圓，經(jīng)過橢圓的右焦點F及上頂點B，過圓外一點傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：（a>b>0），過點(0，1)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點．證明：當(dāng)點P在橢圓C上運動時，恒為定值．

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