【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若不等式f(x)≤0恒成立,則 的最小值為 .
【答案】﹣
【解析】解:∵函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
∴ ,x>0,
當(dāng)a≤e時(shí),f′(x)>0,
f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)≤0不可能恒成立,
當(dāng)a>e時(shí),由 ,得x= ,
∵不等式f(x)≤0恒成立,∴f(x)的最大值為0,
當(dāng)x∈(0, )時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈( ,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x= 時(shí),f(x)取最大值,
f( )=﹣ln(a﹣e)﹣b﹣1≤0,
∴l(xiāng)n(a﹣e)+b+1≥0,
∴b≥﹣1﹣ln(a﹣e),
∴ (a>e),
令F(x)= ,x>e,
F′(x)= = ,
令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,
H′(x)=ln(x﹣e)+1,
由H′(x)=0,得x=e+ ,
當(dāng)x∈(e+ ,+∞)時(shí),H′(x)>0,H(x)是增函數(shù),
x∈(e,e+ )時(shí),H′(x)<0,H(x)是減函數(shù),
∴當(dāng)x=e+ 時(shí),H(x)取最小值H(e+ )=﹣e﹣ ,
∵x→e時(shí),H(x)→0,x>2e時(shí),H(x)>0,H(2e)=0,
∴當(dāng)x∈(e,2e)時(shí),F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)是減函數(shù),
當(dāng)x∈(2e,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)是增函九,
∴x=2e時(shí),F(xiàn)(x)取最小值,F(xiàn)(2e)= =﹣ ,
∴ 的最小值為﹣ .
所以答案是:﹣ .
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)點(diǎn)A(﹣2,0)的直線與x=2相交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B(2,0)的直線與x=﹣2相交于點(diǎn)D,若直線CD與圓x2+y2=4相切,則直線AC與BD的交點(diǎn)M的軌跡方程為 .
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【題目】已知直線l:x+2y﹣4=0與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F,且EF=,則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是_____.
①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③△AEF的面積與△BEF的面積相等.④三棱錐A﹣BEF的體積為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線C上一點(diǎn),且P在第一象限,PM⊥l于點(diǎn)M,線段MF與拋物線C交于點(diǎn)N,若PF的斜率為 ,則 =( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足12Sn﹣36=3n2+8n,數(shù)列{log3bn}為等差數(shù)列,且b1=3,b3=27.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令cn=(﹣1)n ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x1 , x2 , 當(dāng)f(x1)=f(x2)時(shí),總有x1=x2 , 則稱函數(shù)f(x)為單純函數(shù),例如函數(shù)f(x)=x是單純函數(shù),但函數(shù)f(x)=x2不是單純函數(shù).若函數(shù) 為單純函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB= .
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A﹣B)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求 的值.
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