Question

【題目】(2015·新課標(biāo)I卷）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E ， F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD ， DF⊥平面ABCD ， BE=2DF ， AE⊥EC.

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC
（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值

Answer 1

【答案】
（1）

見解析

（2）

【解析】（Ⅰ）連接BD ， 設(shè)BD∩AC=G ， 連接EG ， FG ， EF ， 在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=
由BE⊥平面ABCD ， AB=BC可知，AE=EC ，
又∵AE⊥EC ， ∴EG=，EG⊥AC ，
在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.
在Rt△FDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴EG2+EG2=EF2 ， ∴EG⊥FG ，
∵AC∩FG=G ， ∴EG⊥平面AFC ，
∵EG面AEC ， ∴平面AFC⊥平面AEC.

（Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸正方向，為單位擬長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz。由（Ⅰ）可得
A（0，-），E(1，0，)，F(xiàn)（-1,0,),C(0,,0), ∴=(1,,), =(-1,-,).
故, 所以直線AE與CF所成的角的余弦值為。