Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過(guò)點(diǎn)B作射線BB_l∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB₁于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值；
（3）以DH所在直線為對(duì)稱軸，線段AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A′C′．
①當(dāng)t＞

3

5

時(shí)，連接C′C，設(shè)四邊形ACC′A′的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)線段A′C′與射線BB，有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍（寫(xiě)出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）先求出AB，再根據(jù)AD=AB以及AD=5t，CE=3t即可求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；
（2）先根據(jù)t的取值不同對(duì)應(yīng)的DE長(zhǎng)不同，分兩種情況分別討論，再根據(jù)△DEG與△ACB相似時(shí)對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系即可求出t的值；
（3）①先根據(jù)條件得到四邊形ACC′A′是梯形；再根據(jù)三角形相似以及同一個(gè)角的正弦值相等分別求出梯形的上下底以及腰長(zhǎng)即可求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②先求出A′在BB′上以及C′在BB′上時(shí)對(duì)應(yīng)的t值，即可得到線段A′C′與射線BB′有公共點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)t的取值范圍．

解答：解（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴當(dāng)AD=AB時(shí)，5t=5，∴t=1．
∴AE=AC+CE=3+3t=6，∴DE=6-5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中點(diǎn)∴GE=2．
當(dāng)AD＜AE（即t＜

3

2

）時(shí)，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG∽△ACB，則

DE

EG

=

AC

BC

，
若△DEG∽△BCA，則

DE

EG

=

BC

AC

．
即有

3-2t

2

=

3

4

或

3-2t

2

=

4

3

成立，
∴t=

3

4

或t=

1

6

．
當(dāng)AD＞AE．（即t＞

3

2

）時(shí)，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3．，
若△DEG與△ACB相似，則

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

．
∴

2t-3

2

=

3

4

或

2t-3

2

=

4

3

．
所以t=

9

4

或t=

17

6

．
綜上得，當(dāng)t=

3

4

或

1

6

或

9

4

或

17

6

時(shí)．△DEG∽△ACB．
（3）①由軸對(duì)稱變換得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，
∴AA′∥CC′．易知OC≠AH故AA′≠CC′，
所以四邊形ACC′A′是梯形．

∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°．
∴△AHD∽△ACB．∴

AH

AC

=

DH

BC

=

AD

AB

．
∴AH=3t，DH=4t
．∵sin∠ADH=sin∠CDO
∴

AH

AD

=

CO

CD

，即

3

5

=

CO

5t-3

∴CO=3t-

9

5

．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t-

18

5

．
∵OD=CD•cos∠CD0=（5t-3）×

4

5

=4t-

12

5

．
∴OH=DH-OD=

12

5

．
∴S=

1

2

（AA′+CC′）•OH=

1

2

（6t+6t-

18

5

）×

12

5

=

72

5

t-

108

25

．
②當(dāng)A′在BB′上時(shí)，A′和點(diǎn)B重合時(shí)，AH=

1

2

AB=

5

2

．此時(shí)cos∠BAC=

AH

AD

=

AC

AB

，得AD=

AH•AB

AC

=

25

6

=5t，∴t=

5

6

；
當(dāng)C′在BB′上時(shí)，此時(shí)CC′=AB=5，∴CC′=6t+6t-

18

5

=5，t=

33

30

=

11

10

．
故當(dāng)線段A′C′與射線BB′有公共點(diǎn)時(shí)所求t∈[

5

6

，

11

10

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分類討論思想以及相似三角形的應(yīng)用問(wèn)題．解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于先根據(jù)t的取值不同對(duì)應(yīng)的DE長(zhǎng)不同，分兩種情況分別討論，避免出現(xiàn)漏解的情況．