Question

一艘輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時(shí)10公里的燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問(wèn)
（1）若輪船以每小時(shí)24公里的速度航行，求行駛100公里的費(fèi)用總和．
（2）如果甲、乙兩地相距100公里，求輪船從甲地航行到乙地的總費(fèi)用的最小值，并求出此時(shí)輪船的航行速度．

Answer 1

分析：（1）若設(shè)輪船的速度為v，比例系數(shù)為k，（k＞0），則每小時(shí)的燃料費(fèi)為kv³ ，由v=10，可得k=

3

500

；即總費(fèi)用y=(

3v3

500

+96)×100×

1

v

，（v＞0）；把v=24代入計(jì)算即可；
（2）對(duì)y求導(dǎo)，得y′=

6

5

v-

9600

v2

；令y'=0，可得v=20；由導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)可得函數(shù)y取得極小值（即最小值）時(shí)，v=20；

解答：解：（1）設(shè)輪船的速度為v，比例系數(shù)為k，（k＞0），則每小時(shí)的燃料費(fèi)為kv³
因?yàn)�，�?dāng)v=10時(shí)，kv³=6；所以，k=

3

500

；
設(shè)總費(fèi)用為y，則y=

3

5

v2+

9600

v

（v＞0）；
當(dāng)v=24時(shí)，行駛100公里的費(fèi)用總和為y=745.6（元）；
（2）對(duì)y求導(dǎo)，得y′=

6

5

v-

9600

v2

；
令y'=0，得v=20；
∴當(dāng)0＜v＜20時(shí)，y'＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減；
當(dāng)v＞20時(shí)，y'＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增；
所以，當(dāng)v=20時(shí)，函數(shù)y取得極小值，即為最小值720元．
答：當(dāng)輪船每小時(shí)行駛20公里時(shí)，從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最小，最小值為720元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確列出函數(shù)解析式，從而求得結(jié)果．