Question

在中，滿足,是邊上的一點(diǎn).

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數(shù)) 且是邊上的三等分點(diǎn).，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；

(Ⅱ)（1）當(dāng)時(shí)，則=；

（2）當(dāng)時(shí)，則=；

（Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ），可得,是等腰直角三角形，令=；

（Ⅱ），，,

利用30°的直角三角形的性質(zhì)令=m所以，，是邊上的三等分點(diǎn).分類討論：或；

（Ⅲ）注意到，是解題的關(guān)鍵，，求通常用平方的方法。

                 

（Ⅰ）解：設(shè)向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911465992132125/SYS201207091147426245327957_DA.files/image015.png">，=m所以，

（1）當(dāng)時(shí)，則=；--2分

（2）當(dāng)時(shí)，則=；---2分

（Ⅲ）解：設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911465992132125/SYS201207091147426245327957_DA.files/image033.png">，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數(shù)，在遞減，在上遞增，所以從而當(dāng)時(shí)，………………2分