直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B.

(1)求實數(shù)k的取值范圍;

(2)是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

解析:(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.  ①

依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點,故

解得k的取值范圍為-2＜k＜-.

(2)設(shè)A、B兩點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),則由①式得x1+x2=     ②

假設(shè)存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c,0),則由FA⊥FB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,

即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.

整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0,                                          ③

把②式及c=代入③式化簡得5k2+2k-6=0.

解得k=-或k=(-2,-)(舍去).

可知k=-使得以線段AB為直線的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點.

練習冊系列答案
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