Question

長度為()的線段AB的兩個端點A、B分別在軸和軸上滑動，點P在線段AB上，且滿足(為常數(shù)，且)．

(1)求點P的軌跡方程C；

(2)當時，過點M(1，0)作兩條互相垂直的直線和，和分別與曲線C相交于點N和Q(N、Q都異于點M)，試問△MNQ能不能是等腰三角形?若能，這樣的三角形有幾個；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：(1)依題意，設點A、B的坐標分別為(，0)、(0，)，點P的坐標為(，)．

由，故

                          

    ∴，即

∵，∴

∴

∴點P的軌跡方程C是

(2)當時，曲線C的方程是，故點M(1，0)在曲線C上

依題意，可知直線和都不可能與坐標軸平行，可設直線方程為，

直線方程為，不妨設>0．

由，消去y得

由，又得，

∴|MN|=

          =

          =．

同理可得|MQ|=

=．

    假設△MNQ是等腰三角形，則|MN|=|MQ|，

即=，

化簡得，

∴或      ①

①式的判別式△=

若△=<0，解得，此時式①得無解；

若△==0，解得，由式①得；

若△=>0，解得，由式①得

(可以驗證且)． 

綜上所述，△MNQ能是等腰三角形，

當時，這樣的三角形有1個；

當時，這樣的三角形有3個．