Question

已知圓O:交軸于A，B兩點,曲線C是以為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點為F.若P是圓O上一點,連結PF,過原點O作直線PF的垂線交直線X＝-2于點Q.

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)若點P的坐標為(1,1),求證:直線PQ與圓相切；

(Ⅲ)試探究:當點P在圓O上運動時(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系?若是,請證明；若不是,請說明理由.

Answer 1

解析:

(Ⅰ)因為,所以c=1          則b=1,即橢圓的標準方程為    

(Ⅱ)因為(1,1),所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x 

又橢圓的左準線方程為x=－2,所以點Q(－2,4)            

所以,又,所以,即,   

故直線與圓相切   

(Ⅲ)當點在圓上運動時,直線與圓保持相切   

證明:設(),則,所以,,

所以直線OQ的方程為                  

所以點Q(－2,)                            

所以,又,

所以,即,故直線始終與圓相切