Question

（1）已知a＞b＞1，log_ab+log_ba=

10

3

，求log_ab-log_ba的值．
（2）已知函數(shù)y=ax²-3x+3，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)有最小值8，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)log_ab•log_ba=1及a＞b＞1，不難求出log_ab及l(fā)og_ba的值，代入即可求出log_ab-log_ba的值．
（2）求二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值，關(guān)鍵是要分析定區(qū)間也函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類(lèi)討論．

解答：解：（1）∵log_ab•log_ba=1
∴l(xiāng)og_ab=

1

logba

又∵a＞b＞1，
∴l(xiāng)og_ba＞1
由log_ab+log_ba=

10

3

得log_ba+

1

logba

=

10

3

解得：log_ba=3
∴l(xiāng)og_ab=

1

logba

=

1

3

∴l(xiāng)og_ab-log_ba=-

8

3

（2）若a=0，則y=-3x+3，在函數(shù)在區(qū)間[1，3]的最小值為-6，不符合條件．
若a＜0，則函數(shù)y=ax²-3x+3圖象的開(kāi)口方向朝下，且對(duì)稱(chēng)軸x=

3

2a

＜0，
此時(shí)函數(shù)y=ax²-3x+3在區(qū)間[1，3]的最大值小于3，故其最小值不可能是8，不符合條件
若a＞0，則函數(shù)y=ax²-3x+3圖象的開(kāi)口方向朝上，且對(duì)稱(chēng)軸x=

3

2a

＞0，
當(dāng)

3

2a

≥3，即0＜a≤

1

2

時(shí)，y的最小值在x=3處取到，最小值為9a-6，令9a-6=8，得a=

14

9

，不符合條件
當(dāng)1＜

3

2a

＜3，即

1

2

＜a＜

3

2

時(shí)，y的最小值在為3-

9

4a

＜8，不符合條件
當(dāng)

3

2a

≤1，即a≥

3

2

時(shí)，y的最小值在x=1處取到，其值為a，令a=8解得a=8
綜上知，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)有最小值8時(shí)，a的值為8

點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c，在定區(qū)間[m，n]上，[1]當(dāng)m≥-

b

2a

時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左側(cè)，f （x）在[m，n]上遞增，則f （x）的最大值為f （n），最小值為f （m）；[2]當(dāng)n≤-

b

2a

時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右側(cè)，f （x） 在[m，n]上遞減，，則f （x）的最大值為f （m），最小值為f（n）；[3]當(dāng)-

b

2a

∈（m，n）時(shí)，則f（x）的最小值為f （-

b

2a

）；在[m，-

b

2a

]上函數(shù)f （x）遞減，則f （x）的最大值為f （m），在[-

b

2a

，n]上函數(shù)f （x）遞增，則f （x）的最大值為f （n），比較f （m）與f （n）的大小即得．