Question

【題目】如圖，的內(nèi)切圓與三邊BC、CA、AB分別切于點(diǎn)D、E、F，直線AI、BI與分別交于點(diǎn).過點(diǎn)作邊AB的平行線分別與交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)F作的一條垂線與交于點(diǎn)，過點(diǎn)F作的一條垂線與交于點(diǎn).設(shè)直線與直線交于點(diǎn)C’，類似地，得到點(diǎn)A’、B’.證明：的外接圓半徑是半徑的2倍.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明一個(gè)引理.

引理 如圖，過外一點(diǎn)A作的一條切線AT，T為切點(diǎn)，再過A作一條直線與交于B、C兩點(diǎn)（AB＜AC），過點(diǎn)C作AT的平行線與交于點(diǎn)D，過T作DT的一條垂線與DB交于點(diǎn)E.則∠BAT=∠EAT.

證明 設(shè)TO與的另一個(gè)交點(diǎn)為T’，聯(lián)結(jié)T’B并延長，與AT交于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)TB、TC.

則∠ABS=∠T’BC=∠DBT’=∠DTT’=90°-∠DTA=∠ATE.

又∠TDE=∠TDB=∠TT’B=∠BTS，∠DTE=∠TBS=90°.

故.

又

因此，.

又∠ABS=∠DBT’=∠ATE，則

.

回到原題.

由引理知，

，.

為的中垂線.

由 I’、F、C’三點(diǎn)共線，且F為C’I的中點(diǎn)

（r為半徑）.

類似地，IA’=2r，IB’=2r.

故I為的外心，且的外接圓半徑為半徑的2倍.