(本小題滿分12分)
已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.
(I )求拋物線C的方程;
(II)若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l2交于點N,試問在x軸上是否存 在定點Q,使Q點在以MN為直徑的圓上,若存在,求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.

(1)  (2) 即在x軸上存在定點Q(1,0)在以MN為直徑的圓上

解析試題分析:解: (Ⅰ)由定義知為拋物線的準線,拋物線焦點坐標
由拋物線定義知拋物線上點到直線的距離等于其到焦點F的距離.
所以拋物線上的點到直線和直線的距離之和的最小值為焦點F到直線的距離.…………2分
所以,則=2,所以,拋物線方程為.………………4分
(Ⅱ)設(shè)M,由題意知直線斜率存在,設(shè)為k,且,所以直線方程為,
代入消x得:
………………6分
所以直線方程為,令x=-1,又由
設(shè)
由題意知……………8分
,把代入左式,
得:,……………10分
因為對任意的等式恒成立,
所以
所以即在x軸上存在定點Q(1,0)在以MN為直徑的圓上.……………12分
考點:本試題考查了拋物線的知識點。
點評:解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查,一般采用設(shè)而不求的聯(lián)立方程組的思想來求解,結(jié)合韋達定理,和向量的數(shù)量積公式,來得到坐標之間的關(guān)系式,然后求解證明結(jié)論。對于點是否在圓上的問題,可以通過向量的數(shù)量積垂直來說明即可,中檔題。

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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知橢圓C:(.

(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標準方程;
(2)在(1)的條件下,設(shè)過定點的直線與橢圓C交于不同的兩點,且為銳角(其中為坐標原點),求直線的斜率k的取值范圍;
(3)如圖,過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點,設(shè)原點到四邊形一邊的距離為,試求滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知m>1,直線,橢圓C:,、分別為橢圓C的左、右焦點.
(Ⅰ)當直線過右焦點時,求直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點,△A、△B的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知橢圓中心在原點,焦點在x軸上,離心率,過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)已知直線與橢圓相交于兩點,且坐標原點到直線的距離為,的大小是否為定值?若是求出該定值,不是說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本題滿分12分)
在平面直角坐標系xOy中,拋物線C的頂點在原點,經(jīng)過點A(2,2),其焦點F在x軸上.
(1)求拋物線C的標準方程;
(2)設(shè)直線l是拋物線的準線,求證:以AB為直徑的圓與準線l相切.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分) 已知直線L:y=x+1與曲線C:交于不同的兩點A,B;O為坐標原點。
(1)若,試探究在曲線C上僅存在幾個點到直線L的距離恰為?并說明理由;
(2)若,且a>b,,試求曲線C的離心率e的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本題13分)設(shè)橢圓的左右焦點分別為,,上頂點為,過點垂直的直線交軸負半軸于點,且的中點.

(1)求橢圓的離心率;
(2)若過點的圓恰好與直線相切,求橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下過右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點,在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形,如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,說明理由。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,且過點,為其右焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點的直線與橢圓相交于兩點(點兩點之間),若的面積相等,試求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知中心在原點,焦點在坐標軸上的橢圓,它的離心率為,一個焦點和拋物線的焦點重合,過直線上一點M引橢圓的兩條切線,切點分別是A,B.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若在橢圓上的點處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過定點;并出求定點的坐標.
(Ⅲ)是否存在實數(shù),使得恒成立?(點為直線恒過的定點)若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。

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