Question

【題目】2018年2月22日上午，山東省省委、省政府在濟南召開山東省全面展開新舊動能轉換重大工程動員大會，會議動員各方力量，迅速全面展開新舊動能轉換重大工程.某企業(yè)響應號召，對現(xiàn)有設備進行改造，為了分析設備改造前后的效果，現(xiàn)從設備改造前后生產的大量產品中各抽取了200件產品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項質量指標值落在內的產品視為合格品，否則為不合格品.圖3是設備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表1是設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.

表1：設備改造后樣本的頻數(shù)分布表

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關；

（2）根據(jù)圖3和表1提供的數(shù)據(jù)，試從產品合格率的角度對改造前后設備的優(yōu)劣進行比較；

（3）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，根據(jù)客戶需求對合格品進行等級細分，質量指標值落在內的定為一等品，每件售價240元；質量指標值落在或內的定為二等品，每件售價180元；其它的合格品定為三等品，每件售價120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件相應等級產品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望.

附：

	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

【答案】(1) 有99%的把握認為該企業(yè)生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關(2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)直觀圖以及表格中所給數(shù)據(jù)，可完成列聯(lián)表；根據(jù)列聯(lián)表，利用公式可得，與臨界值比較可得結果；（2）根據(jù)圖和表可知，利用古典概型概率公式可得設備改造前產品為合格品的概率約為，設備改造后產品為合格品的概率約為，比較合格率的大小即可得結果；（3）隨機變量的取值為： ， ， ， ， ，根據(jù)獨立事件的概率公式計算出各隨機變量對應的概率，可得分布列，利用期望公式可得結果.

試題解析：（1）根據(jù)圖3和表1得到列聯(lián)表：

	設備改造前	設備改造后	合計
合格品	172	192	364
不合格品	28	8	36
合計	200	200	400

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得：

.

∵，

∴有99%的把握認為該企業(yè)生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關.

（2）根據(jù)圖和表可知，設備改造前產品為合格品的概率約為，設備改造后產品為合格品的概率約為；顯然設備改造后產品合格率更高，因此，設備改造后性能更優(yōu).

（3）由表1知：

一等品的頻率為，即從所有產品中隨機抽到一件一等品的概率為；

二等品的頻率為，即從所有產品中隨機抽到一件二等品的概率為；

三等品的頻率為，即從所有產品中隨機抽到一件三等品的概率為.

由已知得：隨機變量的取值為： ， ， ， ， .

，

，

，

，

.

∴隨機變量的分布列為：

	240	300	360	420	480

∴ .