【題目】如圖空間幾何體中,與,均為邊長為的等邊三角形,平面平面,平面平面.
(1)試在平面內(nèi)作一條直線,使得直線上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行,并給出詳細(xì)證明;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)答案見解析(2)
【解析】
(1)分別取,中點(diǎn),,,連接,,,,,可得面,面,,結(jié)合已知,即可求得答案;
(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),以為軸,以為軸,以為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,求得面的法向量和面的法向量,根據(jù),即可求得答案.
(1)分別取,中點(diǎn),,,連接,,,,
面面且交于,面,
面
面面且交于,面,
面,
由,
面,
,
由,
面
由,
面面
當(dāng)在直線上運(yùn)動時,面
直線是所求直線.且,
四邊形是平行四邊形
(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),以為軸,以為軸,以為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
由面,
面的法向量可取.
點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)
可得:,,
設(shè)面的法向量
由,可得
可取
設(shè)二面角的平面角為,據(jù)判斷其為銳角
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓與的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)分別在軸與軸上,它們有相同的離心率,并且的短軸為的長軸,與的四個焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積是.
(1)求橢圓與的方程;
(2)設(shè)是橢圓上非頂點(diǎn)的動點(diǎn),與橢圓長軸兩個頂點(diǎn),的連線,分別與橢圓交于,點(diǎn).
(i)求證:直線,斜率之積為常數(shù);
(ii)直線與直線的斜率之積是否為常數(shù)?若是,求出該值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.
(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;
(2)若某顧客有3次抽獎機(jī)會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在五面體中,側(cè)面是正方形,是等腰直角三角形,點(diǎn)是正方形對角線的交點(diǎn),且.
(1)證明:平面;
(2)若側(cè)面與底面垂直,求五面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解公司800名員工對公司食堂組建的需求程度,將這些員工編號為1,2,3,…,800,對這些員工使用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取100人征求意見,有下述三個結(jié)論:①若25號員工被抽到,則105號員工也會被抽到;②若32號員工被抽到,則1到100號的員工中被抽取了10人;③若88號員工未被抽到,則10號員工一定未被抽到;其中正確的結(jié)論個數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線:與圓: ()相交于, , ,四個點(diǎn),
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)四邊形的面積為,當(dāng)最大時,求直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且直線是函數(shù)的一條切線.
(1)求的值;
(2)對任意的,都存在,使得,求的取值范圍;
(3)已知方程有兩個根,若,求證: .
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