已知分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．① 求證：；② 若弦過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的方程．

【命題意圖】本題考查直線與橢圓的方程等相關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，較難題．

【答案】（Ⅰ）由題，，由點(diǎn)在橢圓上知，則有：

，又，

以上兩式可解得，．所以橢圓．                                            ……4分

（Ⅱ）① 設(shè)，則直線：、直線：，

兩式聯(lián)立消去得：；

同理：直線：、：，聯(lián)立得：．……6分

欲證：，只需證：，只需證：，

等價(jià)于：，

而，，所以，

故有：．                                                                                                 ……9分

② (ⅰ)當(dāng)時(shí)，由可求得：；                                  …10分

(ⅱ)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，

由（Ⅱ）知：，

將，代入上式得：，

解得，由①知．

綜合(ⅰ) (ⅱ)，，故直線：．                                    …

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年河北省冀州中學(xué)高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（B卷） 題型：解答題

（12分）已知分別是橢圓的左、右 焦點(diǎn)，已知點(diǎn) 滿足，且。設(shè)是上半橢圓上且滿足的兩點(diǎn)。
（1）求此橢圓的方程；
（2）若，求直線AB的斜率。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年安徽省六校教育研究會(huì)高三2月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年安徽省馬鞍山高三三模理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．① 求證：；② 若弦過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的方程．

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年浙江省高二第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理科）試題 題型：填空題

已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為M。若在橢圓上存在一點(diǎn)P，分別連結(jié)PF1，PF2交y軸于A，B兩點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為              。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012屆山東省高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右 焦點(diǎn)，已知點(diǎn)

 

 滿足，且。設(shè)是上半橢圓上且滿足的兩點(diǎn)。

（1）求此橢圓的方程；

（2）若，求直線AB的斜率。

 

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