Question

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多作，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）選修4一2：矩陣與變換
求矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量．
（2）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程：（t為參數(shù)）和圓C的極坐標(biāo)方程：．
（Ⅰ）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
（3）選修4一5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求實(shí)數(shù)x的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
（2）（Ⅰ）將直線l的參數(shù)方程的參數(shù)t消去即可求出直線的普通方程，利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式求出圓的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）欲判斷直線l和圓C的位置關(guān)系，只需求圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較即可，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求出圓心到直線的距離然后與半徑比較．
（3）由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），且a≠0，得≥f（x）則可以求出左式的最小值，使得f（x）小于等于最小值即可，從而得到解不等式|x-1|+|x-2|≤2即得．
解答：解：（1）設(shè)A的一個(gè)特征值為λ，由題意知：，
所以（λ-2）λ-3=0，即λ₁=-1，λ₂=3．（3分）
將λ₁=-1代入特征方程組，得．
可取為屬于特征值λ₁=-1的一個(gè)特征向量．
將λ₂=3代入特征方程組，得．
可取為屬于特征值λ₂=3的一個(gè)特征向量．
（2）（Ⅰ）消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為y=2x+1（3分）
ρ=2），即ρ=2（sinθ+cosθ），兩邊同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
得⊙C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（x-1）²=2（5分）
（Ⅱ）圓心C到直線l的距離d=，所以直線l和⊙C相交（7分）
（3）由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），且a≠0，得≥f（x）（3分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184708285283020/SYS201310241847082852830020_DA/9.png">=2，則有2≥f（x）（5分）
解不等式|x-1|+|x-2|≤2，得（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查來(lái)了矩陣特征值與特征向量的計(jì)算、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，以及直線的參數(shù)方程和直線與圓的位置關(guān)系的判定，帶絕對(duì)值的函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．